孔子廟と天満宮は、どちらが「学問の神」にふさわしいのでしょうか？
どちらが「ふさわしい」という問いよりも、両者の性格の違いを理解することが大切です。孔子廟は「学問の体系そのもの」への崇敬であり、儒学の伝統を受け継ぐ場です。天満宮は道真公という実在した人物への崇拝であり、不遇を超えて神格化された存在への祈りです。試験合格を祈るなら天満宮、学問の道を深く歩むことへの決意を新たにするなら孔子廟、というふうに、参拝の目的によって選ばれる方も多いようです。
大成殿の内部拝観は、土曜・日曜・祝日の午前10時から午後5時（入場は午後4時30分まで）に限られています（有料・小学生以下無料）。境内自体は毎日開放されており、建築外観の見学は常時可能です。孔子像は大成殿内部にあるため、内部拝観の機会に訪れることをお勧めします。
受験生が湯島聖堂に参拝することに、歴史的な根拠はありますか？
はい、深い根拠があります。湯島聖堂に付設された昌平坂学問所（昌平黌）は、幕府直轄の最高学府として幕末まで機能しました。その意味で、湯島聖堂は「実際に学問が行われ、学者が輩出された場」です。現代の受験参拝は江戸時代の学問所文化の精神的な継承と言えるでしょう。
足利学校と湯島聖堂では、どちらが先に設立されましたか？
足利学校の方が古く、室町時代（15世紀）の再興とされます。湯島聖堂は元禄3年（1690年）の移建が起点です。ただし、湯島聖堂の前身である林羅山の先聖殿は寛永7年（1630年）に設立されており、江戸期の学問所としての歴史は足利学校と異なる系譜を持ちます。日本の儒学史において、足利学校は「中世の知の拠点」、湯島聖堂は「近世幕藩体制の知の中枢」として、それぞれ異なる役割を担ってきました。